24 avril 2018

Autoportrait au miroir sphérique de M. C. Escher


Autoportrait au miroir sphérique (\(1935\)) est une lithographie de l'artiste néerlandais M. C. Escher (\(1898 - 1972\)).

23 avril 2018

Instrument pour dessiner des paraboles de Cavalieri

Dans son livre Lo specchio ustorio overo trattato delle Settioni coniche: et alcuni loro mirabili effectti, le mathématicien italien Bonaventura Cavalieri décrit dans \(1638\) un instrument destiné à dessiner des paraboles. Le segment CD, qui glisse dans le demi-droite AD, a une longueur fixe. Le segment CF est perpendiculaire à CD et l'angle AFD est toujours un angle droit.

Dans l'applet ci-dessous, cliquez sur le bouton Démarrer pour commencer l'animation qui montre le dessin d'une parabole en utilisant l'instrument inventé par Cavalieri. Vous pouvez utiliser le bouton Arrêter pour arrêter l'animation à tout moment pour vérifier les égalités dans les deux boîtes, vert et bleu.

22 avril 2018

i

\(i=\sqrt {-1}\) est l'unité imaginaire d'un nombre complexe, découvert par le mathématicien italien Girolamo Cardano.

Un hombre imaginaire pur est un nombre sous la forme \(bi\), où \(b\) est un nombre réel et \(i\) est la racine carrée de \(-1\) avec \(b\neq0\).

Les nombres complexes en général, et les nombres imaginaires purs, en particulier, sont essentiels pour décrire les phénomènes physiques et ils ont des applications concrètes dans électromagnétisme, le traitement du signal, la théorie de la commande, la mécanique quantique, la cryptographie, la cartographie, etc.

\(i\) est le résultat des équations suivantes :

  • \(x^2+1=0\) ;
  • \(x^3+x=0\), avec \(x\neq0\).

Les racines carrées de nombres négatifs peuvent être écrites sous la forme : \(\sqrt {-n}=\sqrt {-1} \times \sqrt{n}=i \sqrt{n}\).

Une autre forme de représenter le nombre \(i\) :

\(e^{i\frac{\pi}{2}}=\cos \left ( \frac{\pi}{2} \right )+i\sin \left ( \frac{\pi}{2} \right )=i\) ;

\(e^{i\pi}+1=0\) (identité d'Euler).

Les puissances de $i$ répètent un motif particulier  \(\left ( i,-1,-i,1,... \right )\) :

\(i\)
\(i^{2}=-1\)
\(i^{3}=i^{2} \times i=\left (-1  \right ) \times i=-i\)
\(i^{4}=i^{2} \times i^{2}=\left (-1  \right ) \times \left (-1  \right )=1\)
\(i^{5}=i^{4} \times i=1 \times i=i\)
\( \cdots \)

21 avril 2018

Spindel

Spindel est une hyperboloïde à une nappe également connue sous le nom d'hyperboloïde de révolution car elle est obtenue en rotation d'une hyperbole autour de son axe non transverse.

\(x^2+y^2-z^2=1\)

L'hyperboloïde à une nappe est utilisée dans la construction. Par exemple, elle est utilisée dans les tours de refroidissement des centrales nucléaires. Comme l'hyperboloïde à une nappe est une surface doublement réglée, c'est-à-dire que, pour chacun de ses points ils existent deux lignes droites distinctes qui se trouvent en surface, elle peut être construite par des poutres droits en acier, permettant une minimisation des vents transversaux, en gardant l'intégrité de la structure avec un minimum d'utilisation des matériaux de construction. Un autre exemple sont certains bâtiments qui utilisent cette surface comme élément architectural.

Tours de refroidissement de la Centrale nucléaire de Chooz (France)

Corporation Street, Manchester (Royaume-Uni)

Cathédrale de Brasilia (Brésil)

20 avril 2018

Quel est votre âge ? (version 2)

Pour ceux qui sont nés dans le \(\mathrm{XXI}^e\) siècle.

Pensez à un nombre de \(1\) à \(7\).

Avec l'aide de ce nombre secret, vous ferez cinq opérations. Vous obtiendrez quelque chose de très révélateur sur vous-même.
  1. Multipliez ce nombre par \(2\).
  2. Additionnez \(2\).
  3. Multipliez le résultat par \(50\).
  4. Si votre anniversaire est passé cette année, additionnez \(18\), sinon additionnez \(17\).
  5. Soustrayez les deux derniers chiffres de l'année de votre naissance.
  6. Soustrayez \(100\).
Le résultat est un nombre à trois chiffres. Le premier est le nombre que vous avez pensé et les deux derniers sont ... votre âge !

Note: Cette astuce est valable pour l'année \(2018\). Pour \(2019\), vous devez additionner une unité dans les nombres mentionnés au paragraphe 4. Pour \(2020\), deux unités et ainsi de suite.

19 avril 2018

Tangram


Le tangram est un ancien jeu de solitaire chinois. Il se compose de sept pièces que vous pouvez assembler pour former un carré (carré original) :
  • \(5\) triangles ;
  • \(1\) carré ;
  • \(1\) parallélogramme.
Notez que le triangle plus petit est l'unité d'aire du carré original, qui est \(16\) fois l'aire du plus petit triangle. La diagonale du carré original est \(4\) fois l'hauteur du triangle plus petit, son côté \(2\) fois la base ou \(4\) fois la médiane de la base du petit triangle.

Le tangram peut être utilisé de deux façons : soit en tant que puzzle, soit en tant que matériau d'évaluation de la flexibilité, de la fluidité et de l'originalité créative.

Dans son rôle de puzzle, le but du jeu est de reproduire un modèle donné. Les règles sont simples : nous utilisons toujours toutes les pièces qui doivent être disposées sur une surface plane sans les superposer. Il existe approximativement \(2,000\) modèles différents, certains extrêmement difficiles, ce qui rend le tangram un jeu encore plus intéressant ! Ces modèles peuvent être géométriques ou figuratifs.


18 avril 2018

Défi #2

La figure ci-dessous est composée de \(12\) allumettes qui forment \(4\) carrés congruents.


Retirez \(2\) allumettes pour obtenir uniquement \(2\) carrés.